Régression linéaire : définition, principes et fonctionnement.

La régression linéaire est une mesure statistique couramment utilisée par les entreprises pour élaborer des prévisions et prendre des décisions plus éclairées. Elle trouve des applications dans de nombreux domaines, de la finance au marketing en passant par le secteur de la santé. C’est également l’une des méthodes algorithmiques les plus utilisées en Machine Learning pour modéliser et comprendre les relations entre les variables.

 

Qu’est-ce que la régression linéaire ?

La régression linéaire vise à modéliser la relation entre une variable dépendante ‘Y’ et une ou plusieurs variables indépendantes ‘X’. L’objectif est de trouver la meilleure ligne de régression minimisant la somme des carrés des erreurs entre les valeurs prédites par le modèle et les valeurs réelles observées.  

La régression linéaire est l’un des types de régression les plus fondamentaux dans le Machine Learning. Il comprend une variable prédictive et une variable dépendante liées de manière linéaire. La régression linéaire implique l’utilisation d’une ligne de meilleur ajustement.

 

Quels sont les différents types de régression ?

Il existe plusieurs types de régression. Chaque modèle s’adapte à une situation bien spécifique. Le choix de la méthode varie en fonction du nombre de variables indépendantes, de la nature des relations entre elles, et des objectifs poursuivis.

• Avec la régression linéaire simple, une seule variable indépendante est utilisée pour prédire la variable dépendante. L’équation de régression est une ligne droite. 
• La régression linéaire multiple est utilisée lorsque plusieurs variables indépendantes sont utilisées pour prédire la variable dépendante. L’équation de régression est alors Y = a* X1 + b* X2 +… + z + epsilon.
• La régression logistique utilise une courbe sigmoïde montrant la relation entre la cible et les variables indépendantes. 
• La régression ridge est la technique de régularisation utilisée pour réduire la complexité du modèle. Elle introduit un léger biais et une matrice de biais, pour éviter le sur-ajustement.
• La régression lasso réduit la complexité du modèle en interdisant la taille absolue du coefficient de régression pour que sa valeur se rapproche de zéro.
• La régression polynomiale permet de modéliser des relations non linéaires en incluant des termes polynomiaux dans l’équation.
• La régression exponentielle est souvent utilisée pour modéliser la croissance exponentielle ou la décroissance.

 

Quelles sont les étapes d’une régression linéaire ?

Le processus d’une analyse de régression linéaire se déroule en plusieurs phases. Dans un premier temps, vous devez réunir l’ensemble des données pertinentes concernant les variables dépendantes et indépendantes. Elles doivent être exhaustives et représentatives de la population ou du phénomène que vous souhaitez étudier.

 

Exploration des données et sélection des variables indépendantes

Une analyse préliminaire des données permet d’identifier les tendances, les valeurs aberrantes, et les relations potentielles entre les variables. Utilisez des graphiques, des statistiques descriptives, et des analyses préliminaires pour cette exploration. En parallèle, sélectionnez les variables indépendantes à inclure dans le modèle, en vous basant sur des bases théoriques, des analyses préalables, ou des techniques de sélection de variables.

 

Création du modèle de régression linéaire

Pour établir l’équation de régression, déterminez les coefficients associés à chaque variable indépendante. Pour estimer ces coefficients, la méthode des moindres carrés, par exemple, peut être utilisée. Cette méthode vise à minimiser la somme des carrés des écarts entre les valeurs prédites et observées. 

 

Comment calculer une régression linéaire ?

Le calcul de la régression linéaire utilise le plus souvent la méthode des moindres carrés ordinaires. Pour commencer, votre dataset doit contenir des observations pour les variables indépendantes (X) et dépendantes (Y).

• Calculez la moyenne de chaque variable : X (\(\bar {X}\)) et Y (\(\bar {Y}\)).
• Pour chaque observation, calculez les écarts par rapport à la moyenne : (\(X – \bar {X}\) et \(Y – \bar {Y}\)) ;
• Calculez le produit des écarts pour chaque observation : (\((X – \bar {X}) (Y – \bar {Y})\))
• Calculez les carrés des écarts pour la variable indépendante (\((X – \bar {X})^2\)).
• Calculez le coefficient de pente (\(\ beta_1\)) : \(\ beta_1 = \frac {\sum (X – \bar {X})(Y – \bar {Y})}{\sum (X – \bar {X})^2}\) puis celui d’ordonnée à l’origine (\(\beta_0\)) : \(\beta_0 = \bar{Y} – \beta_1\bar {X}\) 
• Utilisez ces coefficients pour calculer les valeurs prédites (\(Y_{\text{prédit}} = \beta_0 + \beta_1X\)). 
• Calculez les résidus (varepsilon) en soustrayant les valeurs prédites des valeurs observées (\(\ varepsilon = Y – Y_{\text{prédit}}\)). 
• Calculez le coefficient de détermination pour évaluer l’ajustement du modèle (\(R^ 2 = 1 – \frac {\sum \ varepsilon ^2} {\sum (Y – \bar {Y})^2}\)).
• Analysez les coefficients, les résidus et le coefficient de détermination pour évaluer la signification statistique et la pertinence du modèle et de la prédiction.

 

Comment interpréter les résultats d’une régression linéaire ?

Le résultat principal d’une régression linéaire est souvent présenté à travers un tableau de coefficients, accompagné du coefficient de détermination R2 et du test de Fisher. 

 

En s’appuyant sur le tableau de coefficients

Il offre une vue détaillée des paramètres estimés du modèle pour chaque variable incluse. Chaque ligne du tableau présente plusieurs éléments clés. Il permet d’obtenir une compréhension approfondie de l’impact individuel de chaque variable sur le modèle global de régression linéaire :

• le coefficient représente l’estimation de l’impact de chaque variable sur la variable dépendante ;
• un intervalle de confiance à 95 % et donc une faible marge d’erreur ; 
• un écart-type permet de comprendre la dispersion des coefficients estimés à partir de multiples échantillons ; 
• une statistique évalue l’éloignement de chaque coefficient de zéro en termes d’écarts-types, 
• une P-valeur indique la probabilité d’observer une statistique t aussi extrême si le coefficient réel était nul.

 

En observant le coefficient de détermination R2

Ce coefficient joue un rôle central dans l’évaluation de la fiabilité d’une régression linéaire, car il mesure l’ajustement du modèle aux données observées. Il offre donc des indications cruciales sur la qualité de la relation entre les variables.

Un R2 proche de 1 indique une fiabilité élevée des données, avec un modèle expliquant efficacement la variation de la variable dépendante. Proche de -1, il suggère aussi une forte fiabilité, mais avec une relation négative. Enfin s’il est proche de 0, il n’existe pas de lien significatif entre les éléments étudiés, et la pertinence du modèle doit être remise en question.

Un coefficient R2 ajusté, prenant en compte le nombre de variables dans le modèle, permet d’obtenir une interprétation plus précise et de comparer des modèles de complexités différentes. Cette métrique est essentielle pour évaluer l’efficacité de la régression linéaire dans la représentation des relations entre les variables.

 

En utilisant le test de Fisher pour évaluer la pertinence globale du modèle

Le test de Fisher fournit une évaluation globale de la validité du modèle de régression linéaire. Il s’agit d’examiner le ratio F, comparant la variabilité expliquée par le modèle à la variabilité résiduelle.

Un ratio F élevé suggère un modèle significatif par rapport à un modèle sans variables indépendantes. L’introduction des variables dans le modèle contribue donc de manière significative à expliquer la variation de la variable dépendante. Une p-valeur associée au ratio F renseigne sur la probabilité d’observer un tel ratio F si le modèle n’avait aucune pertinence. Une p-valeur faible renforce la confiance dans la pertinence globale du modèle.

 

Où peut-on appliquer la régression linéaire ?

La régression linéaire s’applique dans des domaines très différents. Elle permet d’analyser les relations entre des variables économiques comme le PIB, le chômage et la consommation par exemple. Dans le secteur de la Finance, elle s’avère particulièrement efficace pour modéliser la relation entre les rendements financiers, les taux d’intérêt, et d’autres indicateurs. C’est également une méthode répandue en marketing, comme pour comprendre l’impact des dépenses publicitaires sur les ventes.

 

En écologie, elle permet de suivre l’évolution des populations animales, mais également d’étudier les relations entre les différentes espèces, les facteurs environnementaux et les changements dans les écosystèmes. Elle trouve aussi son utilité dans le domaine médical, où elle peut par exemple aider les médecins à comprendre l’efficacité d’un nouveau médicament. Dans le sport, elle permet d’analyser les performances des athlètes en fonction de l’entraînement ou de la nutrition, et d’émettre des hypothèses pour améliorer leurs performances. 

 

Quels outils sont disponibles pour effectuer une régression linéaire ?

Différents outils logiciels permettent d’effectuer très efficacement des analyses de régression linéaire :

• les tableurs comme Microsoft Excel ou Google Sheets ; 
• Python, à l’aide de ses bibliothèques comme NumPy, SciPy et scikit-learn en utilisant des lignes de code ; 
• le langage de programmation R dispose aussi de nombreuses bibliothèques ; 
• les logiciels statistiques SPSS (Statistical Package for the Social Sciences), SAS (Statistical Analysis System) ou STATA.

 

Quels sont les avantages de son utilisation dans l’analyse de données ?

La régression linéaire, en tant que méthode d’analyse statistique, offre une approche puissante pour modéliser la relation entre une variable dépendante et une ou plusieurs variables indépendantes. Cette équation élémentaire offre une expression simple de la relation entre plusieurs variables prédictives et la variable prédite. Avec sa modélisation rapide, elle est particulièrement efficace pour effectuer des prédictions rapides, particulièrement lorsque le volume de données est important.

 

De plus, les coefficients ont une interprétation directe. Dans un modèle simple, le coefficient associé à une variable indépendante représente la variation moyenne dans la variable dépendante pour une unité de changement dans la variable indépendante. Toutes les autres variables sont maintenues constantes. Les résidus d’un modèle de régression linéaire peuvent également être analysés pour évaluer la qualité du modèle et identifier des violations des hypothèses, avec pour effet d’améliorer la validité des résultats.

La régression linéaire est un pilier fondamental dans l’arsenal des outils statistiques. La simplicité de sa formulation, son efficacité informatique et son interprétabilité en font un choix privilégié pour formuler des hypothèses et des prédictions, y compris face à des phénomènes complexes.