Algorithme de Dijkstra : qu’est-ce que c’est ?

La théorie des graphes est un domaine fondamental des mathématiques discrètes. Il fournit un cadre essentiel pour étudier des structures interconnectées, des réseaux sociaux aux systèmes de transport complexes. L’un des défis est l’optimisation des distances entre deux points. Le plus souvent, pour trouver le plus court chemin, on utilise l’algorithme de Dijkstra. 

Qu’est-ce que l’algorithme de Dijkstra ?

L’algorithme de Dijkstra porte le nom de son créateur Edsger W. Dijkstra, un informaticien néerlandais. Publié en 1959, c’est une méthode de calcul du chemin le plus court entre un nœud source et tous les autres nœuds d’un réseau. Il utilise une approche de recherche par priorité.

En appliquant cette stratégie de recherche prioritaire, l’algorithme examine de manière séquentielle chaque nœud voisin. Il met alors à jour les distances les plus courtes déjà identifiées pour atteindre chacun des nœuds.

Qu’est-ce que le problème du plus court chemin ?

Le problème du plus court chemin est un classique en théorie des graphes comme en informatique. Il consiste à déterminer la route la plus courte entre deux sommets spécifiques dans un graphe. Il s’agit donc de déterminer une séquence de nœuds qui minimise la somme des poids associés aux arêtes ou aux chemins empruntés. Le poids peut représenter diverses mesures comme la distance (dist) ou le temps (en heures, minutes ou secondes).

Comment fonctionne l’algorithme de Dijkstra ?

Il consiste à rechercher le chemin le plus court entre deux nœuds et tient compte du poids des arêtes et des arcs du graphe. Ainsi, dans un réseau routier, chacun des sommets représente une ville. Chaque route est une arête ou un arc. Le poids de chaque arc correspond à la distance entre les villes. En se basant sur le parcours en largeur, il mémorise le trajet le plus court depuis le point de départ pour chaque ville dans un tableau.

Le nœud initial est considéré comme le nœud père. À partir du point initial, le sommet accessible avec la distance minimum est visité le premier. C’est ensuite au tour du sommet voisin. La distance se met à jour, dès qu’un trajet est plus court que son prédécesseur. L’algorithme génère un arbre du plus court chemin et collecte toutes les informations importantes pour permettre la récupération des résultats :

• les distances les plus courtes ; 
• le prédécesseur de chaque nœud ; 
• les nœuds visités ou explorés, 
• les chemins les plus courts.

 

Tous ces détails sont stockés sous forme de log dans un tableau, une liste ou un dictionnaire selon les besoins spécifiques de l’application.

Comment fonctionne-t-il pour résoudre des problèmes de plus court chemin ?

L’algorithme de Dijkstra utilise une approche itérative très méthodique. Elle permet de résoudre les problèmes de plus court chemin en trouvant la solution optimale dans un graphe pondéré.

L’initialisation

La sélection des conditions initiales est la première étape. La distance par rapport au nœud source est considérée comme nulle. La distance vers chaque autre nœud est considérée comme infinie (infty). Ces nœuds n’ayant pas encore été explorés par l’algorithme, leurs distances sont inconnues. Parallèlement, une file d’attente prioritaire est initialisée pour suivre les nœuds en fonction de leurs distances estimées.

La boucle principale

L’algorithme se base donc sur la file d’attente. Elle sélectionne le nœud courant en fonction de la distance la plus courte estimée. Dès qu’un chemin plus rapide est découvert, l’algorithme explore chaque voisin et actualise leurs distances respectives. Cette étape implique de comparer la distance enregistrée avec le produit de la distance du nœud actuel et du poids de l’arête menant au prédécesseur. 

Itération

À chaque itération, l’algorithme sélectionne le nœud non visité le plus proche du nœud de départ. Il met à jour les distances minimales avec chaque nœud voisin, puis le signale comme visité. Il répète alors ce processus jusqu’à ce que tous soient visités. Il peut ainsi déterminer les parcours les plus courts vers tous les nœuds du graphe à partir du nœud de départ. Chaque étape est enregistrée sous forme de log, dans une ligne ou une colonne de tableau par exemple.

Finalisation

Une fois que tous les nœuds ont été visités et que leurs distances minimales par rapport au départ ont été calculées, l’algorithme s’arrête. Les distances des chemins les plus courts sont disponibles dès que l’algorithme a exploré chaque nœud accessible.

Quand utiliser l’algorithme de Dijkstra ?

L’algorithme de Dijkstra est utilisé pour résoudre le problème du plus court chemin dans un graphe pondéré. Comme nous l’avons vu, il permet de déterminer le parcours le plus rapide entre le sommet de départ et tous les autres.

Il trouve sa place dans de nombreuses applications, notamment les réseaux de communication et les systèmes de transport, de cartographie ou de routage. En pratique, il s’applique dès lors qu’il s’agit de trouver des parcours optimaux, tout en prenant en compte les contraintes de distance, de temps ou de coût.

Comment apprendre Dijkstra ?

Il existe de nombreuses ressources en ligne gratuites permettant de comprendre et appliquer l’algorithme de Dijkstra. C’est toutefois une compétence qui s’acquiert dans le cadre d’un parcours de formation complet en Data Science ou dans les métiers de l’Intelligence Artificielle. Il est en effet primordial de maitriser les concepts fondamentaux des graphes, à savoir les nœuds, les arêtes, les arcs.

Quelles sont les applications de l’algorithme de Dijkstra en intelligence artificielle ?

En Intelligence Artificielle, l’algorithme de Dijkstra est un outil précieux pour résoudre des problèmes de planification, d’optimisation et de recommandation.

Dans les systèmes de recommandation

L’algorithme de Dijkstra peut être utilisé pour recommander des produits, des contenus ou même des connexions sociales. Il va trouver le chemin le plus court entre des utilisateurs ou des éléments similaires dans un réseau de relations.

Dans le domaine de la robotique

Certains robots mobiles utilisent l’algorithme de Dijkstra pour planifier des trajectoires optimales. Ils vont ainsi à la fois éviter les obstacles et minimiser les distances à parcourir. Le chemin robotique.

Dans le cas de drones automatisés, ceux-ci peuvent être chargés avec ce module algorithmique. Ils deviennent alors capables de se déplacer de manière ordonnée en suivant le chemin le plus court afin d’atteindre leur objectif en un minimum de temps.

Dans les services de cartographie numérique

L’algorithme de Dijkstra peut être utilisé pour déterminer les itinéraires les plus courts entre deux points. C’est le cas avec Google Maps pour trouver la distance d’une ville à l’autre, ou de votre emplacement à votre destination. Comme il existe plusieurs chemins possibles, l’algorithme de Dijkstra est utilisé pour trouver la distance minimale entre les deux emplacements.

Dans l’optimisation de la logistique

Dijkstra peut permettre d’optimiser les itinéraires de livraison, notamment en minimisant les distances parcourues ou les temps de trajet. C’est un élément qui peut être crucial dans certains domaines, comme la livraison ou le transport.

Dans le développement de jeu vidéo

L’algorithme de Dijkstra va créer des trajectoires de déplacement pour les personnages non-joueurs (PNJ). Cela va leur permettre de naviguer efficacement dans l’environnement du jeu et d’améliorer l’expérience du joueur.

Dans le Deep Learning

Dans certaines applications d’apprentissage profond, l’algorithme de Dijkstra peut permettre de rechercher des connexions optimales entre les neurones dans un réseau. 

Quels sont les défis et les limites de l’algorithme de Dijkstra ?

Bien que ce soit un outil puissant, l’algorithme présente également certaines limites.

La gestion des poids négatifs

Si l’algorithme de Dijkstra fonctionne lorsque les poids des arêtes sont positifs ou nuls, il n’est pas adapté aux graphes contenant des poids d’arêtes négatifs. Cette configuration peut entraîner des résultats incorrects ou une boucle infinie. 

L’espace de stockage

Cet algorithme nécessite de stocker les informations de distance pour chaque nœud. Cela peut s’avérer lourd en termes de mémoire, notamment dans le cas de graphes de grande taille.

La gestion des graphes dynamiques

Dans le cas de graphes dynamiques, les poids des arêtes peuvent changer à maintes reprises. Par conséquent, les chemins les plus courts doivent être recalculés fréquemment. L’algorithme de Dijkstra est limité pour ce genre d’usage, car il est conçu pour déterminer le chemin le plus court à partir d’un seul nœud.

Comment optimiser l’utilisation de l’algorithme de Dijkstra ?

Différentes stratégies peuvent être mises en place afin d’optimiser l’utilisation de l’algorithme de Dijkstra.

Réduire les besoins en stockage

Pour réduire l’espace mémoire requis, vous pouvez utiliser des listes d’adjacence. Cela va vous permettre de stocker les graphes de manière efficace, spécialement les graphes creux. Cela permet de stocker uniquement les arêtes effectivement présentes dans le graphe. 

Adapter les structures de données aux mises à jour dynamiques

Dans le cas d’un graphe dynamique et de mises à jour fréquentes, il peut être nécessaire de se reposer sur des structures de données comme Path Update Structures, pour la mise à jour de chemin, ou Graph Update Structures, pour la mise à jour de graphe. Elles permettent de gérer plus efficacement les opérations de mise à jour, tout en préservant les bonnes performances de l’algorithme.

Miser sur des variantes optimisées

Il existe plusieurs variantes à l’algorithme, optimisées pour réduire le temps de calcul et l’utilisation de la mémoire. Vous pouvez par exemple utiliser l’algorithme de Dijkstra avec tas de Fibonacci, A*, Bellman-Ford ou Delta stepping.

Alors que la technologie continue de progresser, l’algorithme de Dijkstra reste au cœur de nombreuses innovations. En continuant d’approfondir notre compréhension de cet algorithme et en explorant ses applications dans divers contextes, il est possible d’améliorer encore l’optimisation des trajets.